☛ Convergence d'une suite

Énoncé

On considère la suite $(u_n)$  définie par $u_0={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et, pour tout entier naturel  $n$ , $u_{n+1}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{u}_n^2+4}}.$
On admet que, pour tout entier naturel  $n$ ,  $u_n⩽u_{n+1}⩽3$ .
Montrer que la suite  $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Solution

La suite  $(u_n)$ est croissante et majorée par  $3$ donc elle converge vers un réel $\ell$ .

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(n+1)=+\mathrm{\infty }$  et $\underset{N\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_N=\ell$  donc par composée $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_{n+1}=\ell$ .
La fonction  $f:x⟼\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+4}}$ est continue sur  $\mathbb{R}$ donc $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{u}_n^2+4}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}}$ .
Les suites $(u_{n+1})$  et $\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{u}_n^2+4}}\right)$ étant égales, par unicité de la limite, on peut affirmer que $\ell =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}}$ .
En particulier, $\ell >0$ .
Comme $\ell >0$ ,
$\ell =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}}⟺{\ell }^2={\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}$
$\ell =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}}⟺{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2=4}$
$\ell =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}}⟺{\ell }^2=8$
$\ell =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}{\ell }^2+4}}⟺\ell =\sqrt{8}$  car $\ell >0$
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
Ainsi $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=2\sqrt{2}$ .